حل تمرین صفحه 45 ریاضی هشتم

برای پیدا کردن اندازه هر زاویه داخلی در یک چندضلعی منتظم $n$-ضلعی، از فرمول زیر استفاده می‌کنیم: $ \text{اندازه هر زاویه} = \frac{(n-۲) \times ۱۸۰^\circ}{n} $ در این سوال، ما یک بیست‌ضلعی منتظم داریم، بنابراین $n=۲۰$ است. با قرار دادن این عدد در فرمول، داریم: $ \text{اندازه هر زاویه} = \frac{(۲۰-۲) \times ۱۸۰^\circ}{۲۰} = \frac{۱۸ \times ۱۸۰^\circ}{۲۰} $ برای ساده کردن محاسبه، می‌توانیم ابتدا $۱۸۰$ را بر $۲۰$ تقسیم کنیم: $ \text{اندازه هر زاویه} = ۱۸ \times (\frac{۱۸۰^\circ}{۲۰}) = ۱۸ \times ۹^\circ = ۱۶۲^\circ $ بنابراین، اندازه هر زاویه یک بیست‌ضلعی منتظم **$۱۶۲$ درجه** است.

**الف) نوع چهارضلعی:** این کاشی یک **لوزی** است. از آنجایی که همه کاشی‌ها یکسان هستند و طرحی منتظم ایجاد کرده‌اند، اضلاع آنها باید با هم برابر باشند. چهارضلعی با چهار ضلع برابر، لوزی نامیده می‌شود. **ب) اندازه زاویه‌ها:** در طرح کاشی‌کاری، نقاطی وجود دارد که در آنجا رأس‌های چندین کاشی به هم می‌رسند. مجموع زوایای اطراف هر نقطه باید $۳۶۰^\circ$ باشد. - در مرکز طرح، رأس سه کاشی به هم رسیده‌اند. این سه زاویه با هم برابر و از نوع باز (بزرگ) لوزی هستند. بنابراین اندازه زاویه باز برابر است با: $ \text{زاویه باز} = \frac{۳۶۰^\circ}{۳} = ۱۲۰^\circ $ - در لوزی، زوایای مجاور مکمل یکدیگرند (مجموعشان $۱۸۰^\circ$ است). پس اندازه زاویه تند (کوچک) برابر است با: $ \text{زاویه تند} = ۱۸۰^\circ - ۱۲۰^\circ = ۶۰^\circ $ بنابراین، زوایای این لوزی‌ها **$۶۰$ درجه** و **$۱۲۰$ درجه** هستند.

حدس می‌زنیم که این بشقاب به شکل یک **هشت‌ضلعی منتظم** بوده است. **چرا؟** در شکل، اندازه یکی از زوایای داخلی چندضلعی منتظم $۱۳۵^\circ$ داده شده است. ما می‌توانیم از فرمول اندازه زاویه داخلی یک $n$-ضلعی منتظم برای پیدا کردن تعداد اضلاع ($n$) استفاده کنیم: $ \text{اندازه زاویه} = \frac{(n-۲) \times ۱۸۰}{n} $ با قرار دادن مقدار زاویه، معادله را حل می‌کنیم: $ ۱۳۵ = \frac{(n-۲) \times ۱۸۰}{n} $ $ ۱۳۵n = ۱۸۰(n-۲) $ $ ۱۳۵n = ۱۸۰n - ۳۶۰ $ $ ۱۸۰n - ۱۳۵n = ۳۶۰ $ $ ۴۵n = ۳۶۰ $ $ n = \frac{۳۶۰}{۴۵} = ۸ $ چون $n=۸$ به دست آمد، نتیجه می‌گیریم که بشقاب یک هشت‌ضلعی منتظم بوده است.

برای پیدا کردن اندازه‌های $x$ و $y$، به شکل بزرگ‌شده توجه می‌کنیم. این شکل یک مربع است و کاشی‌های آبی و قرمز، مثلث‌های متساوی‌الساقین هستند. ۱. **پیدا کردن $x$:** - گوشه‌های شکل بزرگ، زاویه قائمه ($۹۰^\circ$) دارند. - کاشی آبی یک مثلث قائم‌الزاویه و متساوی‌الساقین است. پس دو زاویه دیگر آن هر کدام $۴۵^\circ$ هستند ($ (۱۸۰-۹۰) \div ۲ = ۴۵ $). - زاویه گوشه مربع از یک زاویه $x$ (از کاشی قرمز) و یک زاویه $۴۵^\circ$ (از کاشی آبی) تشکیل شده است. - بنابراین: $ x + ۴۵^\circ = ۹۰^\circ \implies x = ۴۵^\circ $. ۲. **پidaa کردن $y$:** - کاشی قرمز یک مثلث متساوی‌الساقین است و $x$ یکی از زوایای قاعده آن است. پس دو زاویه آن برابر با $x=۴۵^\circ$ هستند. - مجموع زوایای داخلی مثلث $۱۸۰^\circ$ است. پس زاویه سوم ($y$) برابر است با: - $ y + ۴۵^\circ + ۴۵^\circ = ۱۸۰^\circ \implies y + ۹۰^\circ = ۱۸۰^\circ \implies y = ۹۰^\circ $. بنابراین، **$ x = ۴۵^\circ $** و **$ y = ۹۰^\circ $** است.

مجموع زوایای داخلی هر چندضلعی $n$-ضلعی (چه محدب و چه مقعر) از فرمول $ (n-۲) \times ۱۸۰^\circ $ به دست می‌آید. - **شکل (الف):** این شکل یک چهارضلعی محدب است ($n=۴$). $ \text{مجموع زوایا} = (۴-۲) \times ۱۸۰^\circ = ۲ \times ۱۸۰^\circ = ۳۶۰^\circ $ - **شکل (ب):** این شکل یک چهارضلعی مقعر (کاخ) است ($n=۴$). $ \text{مجموع زوایا} = (۴-۲) \times ۱۸۰^\circ = ۲ \times ۱۸۰^\circ = ۳۶۰^\circ $ **مقایسه:** مجموع زوایای داخلی هر دو شکل با هم **برابر** و مساوی **$۳۶۰$ درجه** است. این نشان می‌دهد که فرمول مجموع زوایای داخلی برای چندضلعی‌های محدب و مقعر یکسان است.